ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65182
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите в целых числах уравнение  (x² – y²)² = 16y + 1.


Решение

Очевидно,  y ≥ 0,  а  x² ≠ y².  Значит,  16y + 1 = (y² – x²)² ≥ (y² – (y – 1)²)² = (2y – 1)² = 4y² – 4y + 1.  Следовательно,  4y² ≤ 20y,  то есть  y ≤ 5.  Осталось проверить значения y от 0 до 5 и найти сответствующие целые значения x.


Ответ

(± 1, 0),  (± 4, 3),  (± 4; 5).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2014/15
класс
Класс 10
задача
Номер 10.4.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .