Задача 65180

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник АВС. Вне его построены равнобедренные тупоугольные треугольники АВ₁С и ВА₁С с одинаковыми углами α при их основаниях АС и ВС. Перпендикуляр, проведённый из вершины С к отрезку А₁В₁ пересекает серединный перпендикуляр к стороне АВ в точке С₁. Найдите угол АС₁В.

Решение

  Заметим, что  ∠АСВ + 2α < 90° + 2·45° = 180°,  поэтому отрезок А₁В₁ пересекает стороны АС и ВС (см. рис.). Пусть точка D симметрична вершине С относительно А₁В₁, тогда D лежит на отрезке СС₁. Кроме того,  А₁D = А₁C = А₁B.

  В четырёхугольнике А₁BDC  ∠ВА₁С = 180° – 2α,  ∠BDC = ∠А₁BD + ∠А₁CD,  поэтому  2∠BDC + 180° – 2α = 360°,  значит,  ∠BDC = 90° + α.  Аналогично  ∠ADC = 90° + α.
  Следовательно,  ∠ADC₁ = ∠BDC₁= 90° – α,  то есть DC₁ – биссектриса угла АDВ. Точка С₁ пересечения биссектрисы треугольника АDВ и серединного перпендикуляра к стороне АВ лежит на описанной окружности этого треугольника. Таким образом,  ∠АС₁В = 180° – ∠АDВ = 2α.

Ответ

2α.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	10
задача
Номер	10.4.2