Версия для печати
Убрать все задачи

---

Окружность радиуса, равного высоте некоторого правильного треугольника, катится по стороне этого треугольника. Доказать, что дуга, высекаемая сторонами треугольника на окружности, всё время равна 60^o.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98361  (#1)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Обратный ход ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Последовательность {x_n} определяется условиями:   x_n+2 = x_n – ¹/_xn+1   при  n ≥ 1.
Докажите, что среди членов последовательности найдётся ноль. Найдите номер этого члена.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108079  (#2)

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Пусть M – середина стороны BC треугольника ABC. Постройте прямую l, удовлетворяющую следующим условиям:  l || BC,  l пересекает треугольник ABC; отрезок прямой l, заключённый внутри треугольника, виден из точки M под прямым углом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98363  (#3)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Первоначально на каждом поле доски 1×n стоит шашка. Первым ходом разрешается переставить любую шашку на соседнюю клетку (одну из двух, если шашка не с краю), так что образуется столбик из двух шашек. Далее очередным ходом каждый столбик можно передвинуть в любую сторону на столько клеток, сколько в нём шашек (в пределах доски); если столбик попал на непустую клетку, он ставится на стоящий там столбик и объединяется с ним. Докажите, что за  n – 1  ход можно собрать все шашки на одной клетке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108080  (#4)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Две окружности пересекаются в точках A и B. К ним проведена общая касательная, которая касается первой окружности в точке C, а второй – в точке D. Пусть B – ближайшая к прямой CD точка пересечения окружностей. Прямая CB второй раз пересекает вторую окружность в точке E. Докажите, что AD – биссектриса угла CAE.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98365  (#5)

Темы:   [ Деревья ] [ Раскраски ] [ Куб ] [ Доказательство от противного ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Раскрашенный в чёрный и белый цвета кубик с гранью в одну клетку поставили на одну из клеток шахматной доски и прокатили по ней так, что кубик побывал на каждой клетке ровно по одному разу. Можно ли так раскрасить кубик и так прокатить его по доске, чтобы каждый раз цвета клетки и соприкоснувшейся с ней грани совпадали?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями