ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76516
Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса, равного высоте некоторого правильного треугольника, катится по стороне этого треугольника. Доказать, что дуга, высекаемая сторонами треугольника на окружности, всё время равна 60o.

Решение

Обозначим угловую величину дуги, высекаемой сторонами данного правильного треугольника ABC, через $ \alpha$. Будем предполагать, что окружность касается стороны BC. Рассмотрим дугу, высекаемую продолжениями сторон треугольника ABC на окружности, и обозначим её угловую величину через $ \alpha{^\prime}$. Тогда ($ \alpha$ + $ \alpha{^\prime}$)/2 = $ \angle$BAC = 60o. Но $ \alpha$ = $ \alpha{^\prime}$, так как эти дуги симметричны относительно прямой, проходящей через центр окружности параллельно стороне BC. Поэтому $ \alpha$ = $ \alpha{^\prime}$ = 60o.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 8
Год 1945
вариант
Класс 9,10
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .