Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли так расставить фишки в клетках доски 8×8, чтобы в каждых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в каждых двух строках – различным?

   Решение

---

Имелось 2016 чисел, ни одно из которых не равно нулю. Для каждой пары чисел записали их произведение.
Докажите, что среди выписанных произведений не менее трети положительны.

   Решение

---

Есть четыре карточки с цифрами: 2, 0, 1, 6. Для каждого из чисел от 1 до 9 можно из этих карточек составить четырёхзначное число, которое кратно выбранному однозначному. А в каком году такое будет в следующий раз?

   Решение

---

Доказать, что те натуральные K, для которых  K^K + 1  делится на 30, образуют арифметическую прогрессию. Найти её.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 58]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60424  (#02.090)  [Треугольник Лейбница]

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Здесь изображен фрагмент таблицы, которая называется треугольником Лейбница. Его свойства "аналогичны в смысле противоположности" свойствам треугольника Паскаля. Числа на границе треугольника обратны последовательным натуральным числам. Каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним. Найдите формулу, которая связывает числа из треугольников Паскаля и Лейбница.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60425  (#02.091)

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите равенства (см. треугольник Лейбница, задача 60424):

  а) 1 = ¹/₂ + ¹/₆ + ¹/₁₂ + ¹/₂₀ + ¹/₃₀ + ... ;

  б) ¹/₂ = ¹/₃ + ¹/₁₂ + ¹/₃₀ + ¹/₆₀ + ¹/₁₀₅ + ... ;

  в) ¹/₃ = ¹/₄ + ¹/₂₀ + ¹/₆₀ + ¹/₁₄₀ + ¹/₂₈₀ + ... .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60426  (#02.092)

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Найдите сумму (см. задачу 60424 про треугольник Лейбница):
  ¹/₁₂ + ¹/₃₀ + ¹/₆₀ + ¹/₁₀₅ + ...
и обобщите полученный результат.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60427  (#02.093)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Ряды (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Найдите суммы рядов

  а)  

  б)  

  в)    (r ≥ 2).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60428  (#02.094)

Темы:   [ Дискретное распределение ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Условная вероятность ]

Сложность: 2 Классы: 8,9,10

В ящике имеется 10 белых и 15 чёрных шаров. Из ящика вынимаются четыре шара. Какова вероятность того, что все вынутые шары будут белыми?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 58]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями