На столе лежат купюры достоинством 1, 2, .. , 2n тугриков. Двое ходят по очереди. Каждым ходом игрок снимает со стола две купюры, большую отдает сопернику, а меньшую забирает себе. Каждый стремится получить как можно больше денег. Сколько тугриков получит начинающий при правильной игре?

   Решение

В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся обеих боковых сторон треугольника и первой окружности. Найдите радиус второй окружности.

   Решение

30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно, что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для того, чтобы все побывали в гостях у всех,
  а) четырёх вечеров недостаточно,
  б) пяти вечеров также недостаточно,
  в) а десяти вечеров достаточно,
  г) и даже семи вечеров тоже достаточно.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]      

Дано несколько параллельных отрезков, причем для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая. Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.

Прислать комментарий

Решение

Верно ли, что любой пятиугольник лежит по одну сторону от не менее чем двух своих сторон?

Прислать комментарий

Решение

а) Нарисуйте многоугольник и точку O внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.
б) Нарисуйте многоугольник и точку O вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если многоугольник таков, что из некоторой точки O виден весь его контур, то из любой точки плоскости полностью видна хотя бы одна его сторона.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что сумма внешних углов любого многоугольника, прилегающих к меньшим 180^o внутренним углам, не меньше 360^o.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]