В пирамиде ABCD длина каждого из рёбер AB и CD равна 4, длина каждого из остальных рёбер равна 3. В эту пирамиду вписана сфера. Найдите объём пирамиды, вершинами которой являются точки касания сферы с гранями пирамиды ABCD .

   Решение

Высота конуса с вершиной O равна 3, радиус основания равен 2. Пирамида ABCD вписана в конус так, что точки A и C принадлежат окружности основания, точки B и D принадлежат боковой поверхности, причём точка B принадлежит образующей OA . Известно, что OB = OD = AB , AC=2 , BD= . Найдите объём пирамиды, двугранный угол при ребре AB и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD .

   Решение

Высота конуса с вершиной O равна 4, Радиус основания равен 2. Пирамида ABCD вписана в конус так, что точки A и C принадлежат окружности основания, точки B и D принадлежат боковой поверхности, причём точка B принадлежит образующей OA . Прямая BD параллельна плоскости основания конуса, = , AC= , BD= . Найдите объём пирамиды, двугранный угол при ребре AB и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD .

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 59]      

Даны две параллельные прямые a, b и точка O. Тогда для каждой точки M можно выполнить следующее построение. Проведем через M произвольную прямую l, не проходящую через O и пересекающую прямые a и b. Точки пересечения обозначим соответственно через A и B, и пусть M' — точка пересечения прямой OM с прямой, параллельной OB и проходящей через A.
а) Докажите, что точка M' не зависит от выбора прямой l.
б) Докажите, что преобразование плоскости, переводящее точку M в точку M', является проективным.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что преобразование координатной плоскости, которое каждую точку с координатами (x, y) отображает в точку с координатами ,, является проективным.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O — центр линзы,  — некоторая плоскость, проходящая через ее оптическую ось a и f — прямые пересечения плоскости  с плоскостью линзы и с фокальной плоскостью соответственно (a| f ). В школьном курсе физики показано, что если пренебречь толщиной линзы, то изображение M' точки M, лежащей в плоскости , строится следующим образом (рис.). Проведем через точку M произвольную прямую l; пусть A — точка пересечения прямых a и l, B — точка пересечения прямой f с прямой, проходящей через O параллельно l. Тогда M' есть точка пересечения прямых AB и OM. Докажите, что преобразование плоскости , сопоставляющее каждой точке ее изображение, является проективным.
Таким образом, через увеличительное стекло мы видим образ нашего мира при проективном преобразовании.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на двух данных прямых l₁ и l₂, а стороны BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой, проходящей через точку Q пересечения прямых l₁ и l₂.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а E, F — точки пересечения продолжений сторон AB и CD, BC и AD соответственно. Прямая EO пересекает стороны AD и BC в точках K и L, а прямая FO пересекает стороны AB и CD в точках M и N. Докажите, что точка X пересечения прямых KN и LM лежит на прямой EF.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 59]