Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

   Решение

---

Функция y = f (x) определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что f (0) = f (1) = 0 и что |f''(x)| ≤ 1 на всём отрезке. Какое наибольшее значение может принимать максимум функции f для всевозможных функций, удовлетворяющих этим условиям?

   Решение

---

На каждом из двух рукавов реки за километр до их слияния стоит по пристани, а ещё одна пристань стоит в 2 километрах после слияния (см. рисунок).

Лодка добралась от одной из пристаней до другой (неизвестно, какой) за 30 минут, от другой до третьей за 18 минут. За сколько минут она может добраться от третьей пристани до первой? (Скорость течения реки постоянна и одинакова во всех её частях. Собственная скорость лодки также постоянна.)

   Решение

---

Дано натуральное число $N$. Для того чтобы найти целое число, ближайшее к $\sqrt{N}$, воспользуемся следующим способом: найдём среди квадратов натуральных чисел число $a^2$, ближайшее к числу $N$; тогда $a$ и будет искомым числом. Обязательно ли этот способ даст правильный ответ?

   Решение

---

Множество чисел А заданы условиями:
а) 1 принадлежит А
б) если k принадлежит А, то 2*k+1 принадлежит А и 3*k принадлежит А, и других чисел множество А не содержит.

Напечатать первые n<1000 чисел множества А в порядке возрастания. Вот начало этой распечатки: 1,3,4,7,9,10,13,15,19,...

   Решение

---

Докажите, что семиугольник нельзя разрезать на выпуклые шестиугольники.

   Решение

---

Найдите все такие целые положительные k, что число
1...12...2-2...2
является квадратом целого числа.
(В первом слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1";
второе слагаемое (вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 56451

Тема:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что  A₁C·BC = B₁C·AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56452

Темы:   [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота  CH. Докажите, что  AC² = AB·AH  и  CH² = AH·BH.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53756

Тема:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В треугольник с основанием a и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах.
Найдите сторону квадрата.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56453

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Удвоение медианы ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  2 : 1,  считая от вершины.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56454

Тема:   [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

На стороне BC треугольника ABC взята точка A₁ так, что  BA₁ : A₁C = 2 : 1.  В каком отношении медиана CC₁ делит отрезок AA₁?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями