Задача 105056

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Перебор случаев ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Осьмова Е.Н.

Найдите все такие целые положительные k, что число
1...12...2-2...2
является квадратом целого числа.
(В первом слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1";
второе слагаемое (вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")

Решение

Ответ: k=2.

Обозначим n=1000. Имеем два случая:

1) k>1000. Тогда

       k                       k-(n+1)
      —                        —
     /   \             n+1      /   \
1...12...2 - 2...2 = 10   *1...12...2
\        /   \   /         \   /
 —     —           —
    2n        n+1           2n-k

Очевидно, что это число не является квадратом натурального: n четно, поэтому в разложение числа входит нечетное число пятерок.

2) k < 1000. Тогда

       k
      —
     /   \                                     k
1...12...2-2...2 = 1...10...0 - 2...20...0 = 10  (1...1-2...2)
\        / \   /   \   /\   /   \   /\   /        \   / \   /
 —   —     —  —     —  —          —   —
    n2      n+1    2n-k   k     n+1-k  k          2n-k   n+1-k

Получили: k=2l, и достаточно найти все такие l<n, что число

A = 1...1 - 2...2   -
    \   /   \   /
     —     —
    2n-2l  n+1-2l

полный квадрат. Заметим, что число x является полным квадратом в точности тогда, когда и 9x. Имеем:

9A = 9...9 - 19...98 = 9...980...01
     \   /    \   /    \   / \   /
      —      —      —   —
     2n-2l    n-2l      n-2   n-2l

"Близкий" к числу 9A полный квадрат - число B=(10^n-l)² . Очевидно, B>9A. Очевидно также, что при Y>Z будет Y²-Z² > Y² - (Y-1)² = 2Y-1. А теперь найдем разность B-9A:

           2n-2l                                 n-2l+1
B - 9A = 10      - 9 9...980...01 = 19...9 = 2*10       - 1
                     \   / \   /     \   /
                      —   —       —
                      n-2   n-2l     n-2l+1

Ясно, что 2*10^n-2l+1-1 < 2*10^n-l-1, причем равенство имеет место в точности при l=1, откуда сразу и получается ответ задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	1999
вариант
Класс	9
задача
Номер	4