Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что числа от 1 до 15 нельзя разбить на две группы: A из двух чисел и B из 13 чисел так, чтобы сумма чисел в группе B была равна произведению чисел в группе A.

   Решение

---

В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98394  (#1)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Докажите неравенство     (a, b, c – положительные числа).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107858  (#2)

Темы:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Подсчет двумя способами ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Разрезания на параллелограммы ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.
Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98396  (#3)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

а) На доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. После семи таких операций на доске будет только одно число. Может ли оно равняться 97?
б) На доске выписаны числа 1, 2¹, 2², 2³, ..., 2¹⁰. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. После нескольких таких операций на доске будет только одно число. Чему оно может быть равно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98397  (#4)

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Внутренняя точка M выпуклого четырёхугольника ABCD такова, что треугольники AMB и CMD – равнобедренные с углом величиной 120° при вершине M.
Докажите существование такой точки N, что треугольники BNC и DNA – правильные.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98398  (#5)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Правило произведения ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Назовём лабиринтом шахматную доску 8×8, где между некоторыми полями вставлены перегородки. Если ладья может обойти все поля, не перепрыгивая через перегородки, то лабиринт называется хорошим, иначе – плохим. Каких лабиринтов больше – хороших или плохих?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями