Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 103774  (#1)

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 2- Классы: 5

Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?

Ответ

Да, может. Например: Андрей Васильевич Иванов, Андрей Геннадиевич Петров, Борис Геннадиевич Иванов, Борис Васильевич Петров.

Прислать комментарий

---

Задача 103775  (#2)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 2- Классы: 6,7

Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ... число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.

Подсказка

2 = 1 ^. 2; 6 = 2 ^. 3.

Решение

Можно заметить, что 2 = 1 ^. 2, 6 = 2 ^. 3, 12 = 3 ^. 4, и предположить, что n-й член последовательности равен n ^. (n + 1). Проверка на 4-м ( 20 = 4 ^. 5) и 5-м ( 30 = 5 ^. 6) членах последовательности показывает, что мы угадали. Значит, на шестом месте стоит число 6 ^. 7 = 42, а на 1994-м — 1994 ^. 1995 = 3978030.

Конечно, это не доказательство в строгом математическом смысле этого слова. Например, так можно ''доказать'', что число шестьдесят делится на все числа. Действительно, 60 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 5, на 6... Однако для решения задачи требуется только найти достаточно простое правило, следуя которому, можно получить такую последовательность. А умение увидеть, почувствовать закономерность (что требовалось в данной задаче) не менее важно для математика, чем умение строго рассуждать! Если вы найдёте какое-нибудь другое (но тоже ''достаточно простое'') правило, дающее последовательность 2, 6, 12, 20, 30, напишите, пожалуйста, нам (а на олимпиаде такое решение тоже было бы засчитано!).

Ответ

 а) 42; б)  1994 ^. 1995 = 3 978 030.

Прислать комментарий

---

Задача 103776  (#3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Задачи на работу ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 2 Классы: 7

Несколько одинаковых по численности бригад сторожей спали одинаковое число ночей. Каждый сторож проспал больше ночей, чем сторожей в бригаде, но меньше, чем число бригад. Сколько сторожей в бригаде, если все сторожа вместе проспали 1001 человеко-ночь?

Подсказка

1001 = 7·11·13.

Решение

Обозначим через s число сторожей в бригаде, через b число бригад, а через n – число ночей, которые проспал один сторож. Тогда  sbn = 1001.
Но  1001 = 7·11·13,  причём числа 7, 11, 13 – простые. Учитывая, что  s < n < b,  получаем  s = 7.

Ответ

7 сторожей.

Прислать комментарий

---

Задача 103777  (#4)

Темы:   [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Раскраски ] [ Куб ]

Сложность: 2 Классы: 7

Составьте куб 3×3×3 из красных, жёлтых и зелёных кубиков 1×1×1 так, чтобы в любом бруске 3×1×1 были кубики всех трёх цветов.

Ответ

Раскраска по слоям:

Прислать комментарий

---

Задача 103778  (#5)

Тема:   [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 2 Классы: 6

Разрежьте квадрат на три части, из которых можно сложить треугольник с тремя острыми углами и тремя различными сторонами.

Ответ

См. рисунок (равные части заштрихованы одинаково).

Прислать комментарий

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями