Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 101]

Задача 110751

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Выпуклый анализ и линейное программирование	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Каждой стороне b выпуклого многоугольника P поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в P, одна из сторон которых совпадает с b. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам P, не меньше удвоенной площади многоугольника P.

Прислать комментарий Решение

Задача 111044

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Малая теорема Ферма	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида n^p – p не делятся на q.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110748

Темы:	[	Выпуклый анализ и линейное программирование	]
Темы:	[	Неравенства с модулями	]

Сложность: 6-
Классы: 10,11

Даны числа а₁, ..., а_n.
Для 1 ≤ i ≤ n положим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любых x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n выполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i} i=1...n

Прислать комментарий

Решение

Задача 110749

Темы:	[	Прямая Симсона	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Рассмотрим 5 точек A, B, C, D, E так что ABCD - параллелограмм, BCED лежат на одной окружности. A ∈ l, прямая lпересекает внутренность [DC] в F и прямую BC в G. Пусть EF = EG = EC. Доказать, что l - биссектриса угла DAB.

Прислать комментарий Решение

Задача 109667

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Непрерывность и компактность	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 101]