Задача 110749

Темы:    [ Прямая Симсона ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

Условие

Рассмотрим 5 точек A, B, C, D, E так что ABCD - параллелограмм, BCED лежат на одной окружности. A ∈ l, прямая lпересекает внутренность [DC] в F и прямую BC в G. Пусть EF = EG = EC. Доказать, что l - биссектриса угла DAB.

Решение

Автор: Канель-Белов А.Я.

Решение.
Пусть P, M, N - середины [BD], [CF], [CG] соответственно.
Поскольку ABCD - параллелограмм, P ∈ [AC].
Т.к. |EC| = |EF|, [EM] ⊥ [CF], аналогично [EN] ⊥ [CG].

Рассмотрим гомотетию с центром в C и коэффициентом 1/2. При этом A, F, G отображаются в P, M, N. Таким образом, P, M, N лежат на одной прямой.
Пусть P' - основание высоты, опущенной из Е на BD. Т.к. Е лежит на окружности, описанной около треугольника BCD, точки P', M и N лежат на одной прямой (прямой Симпсона).

Таким образом, либо P=P', либо Е лежит на перпендикуляре к биссектрисе BD. Т.к. Ð BPE = Ð CME = π/2 и Ð PBE = Ð MCE, Δ PEB = Δ MEC, теперь Ð MNC = Ð MEC = Ð PEB = 1/2 Ð DEB = 1/2 Ð DCB = 1/2 Ð D.

Итак, l и прямая Симпсона PMN гомотетичны и параллельны.
Посему угол между l и AD равен углу между MN и BC, и, таким образом, l - биссектриса угла DAB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Международная Математическая Олимпиада
год
Год	2007
задача
Номер	2