Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 57]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66699

Темы:   [ Раскраски ] [ Четность и нечетность ] [ Обход графов ] [ Степень вершины ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся три грани. Каждая грань покрашена в красный, жёлтый или синий цвет.
Докажите, что число вершин, в которых сходятся грани трёх разных цветов, чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67032

Темы:   [ Кооперативные алгоритмы ] [ Четность перестановки ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Султан собрал 300 придворных мудрецов и предложил им испытание. Имеются колпаки 25 различных цветов, заранее известных мудрецам. Султан сообщил, что на каждого из мудрецов наденут один из этих колпаков, причём если для каждого цвета написать количество надетых колпаков, то все числа будут различны. Каждый мудрец будет видеть колпаки остальных мудрецов, а свой колпак нет. Затем все мудрецы одновременно огласят предполагаемый цвет своего колпака. Могут ли мудрецы заранее договориться действовать так, чтобы гарантированно хотя бы 150 из них назвали цвет верно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111652

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Раскраски ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

На клетчатом листе бумаги нарисованы несколько прямоугольников, их стороны идут по сторонам клеток. Каждый прямоугольник состоит из нечётного числа клеток, и никакие два прямоугольника не содержат общих клеток. Докажите, что эти прямоугольники можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы у прямоугольников одного цвета не было общих точек границы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111685

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Обход графов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Барон Мюнхгаузен рассказывал, что у него есть карта страны Оз с пятью городами. Каждые два города соединены дорогой, не проходящей через другие города. Каждая дорога пересекает на карте не более одной другой дороги (и не более одного раза). Дороги обозначены жёлтым или красным (по цвету кирпича, которым вымощены), и при обходе вокруг каждого города (по периметру) цвета выходящих из него дорог чередуются. Могут ли слова барона быть правдой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66534

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n² так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n, – в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 57]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями