Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 43]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Даны многочлен P(x) и такие числа a1, a2, a3, b1, b2, b3, что a1a2a3 ≠ 0. Оказалось, что P(a1x + b1) + P(a2x + b2) = P(a3x + b3) для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Найдите все такие натуральные k, что при каждом нечётном n > 100 число 20n + 13n делится на k.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Натуральное число N представляется в виде N = a1 – a2 = b1 –
b2 = c1 – c2 = d1 – d2, где a1 и a2 – квадраты, b1 и b2 – кубы, c1 и c2 – пятые степени, а d1 и d2 – седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел a1, b1, c1 и d1 найдутся два равных?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Последовательность натуральных чисел ai такова, что НОД(ai, aj) = НОД(i, j) для всех i ≠ j. Докажите, что ai = i для всех i ∈ N.
Последовательности положительных чисел (xn) и (yn) удовлетворяют условиям 
при всех натуральных n. Докажите, что если все числа x1, x2, y1, y2 больше 1, то xn > yn при каком-нибудь натуральном n.
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 43]
Все авторы
>>
Голованов А.С. 
