ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Токарев С.И.

Сергей Иванович Токарев - старший преподаватель Ивановского государственного энергетического университета, заведующий отделом задач в журнале "Математика в школе", член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике, создатель летнего турнира математических боёв им. А.П.Савина.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 77]      



Задача 110112

Тема:   [ Задачи на движение ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

По шоссе мимо наблюдателя проехали "Москвич", "Запорожец" и двигавшаяся им навстречу "Нива". Известно, что когда с наблюдателем поравнялся "Москвич", то он был равноудалён от "Запорожца" и "Нивы", а когда с наблюдателем поравнялась "Нива", то она была равноудалена от "Москвича" и "Запорожца". Докажите, что "Запорожец" в момент проезда мимо наблюдателя был равноудалён от "Нивы" и "Москвича". (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудалённые машины находились по разные стороны от наблюдателя.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 110171

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Набор пятизначных чисел $\{N_1, \dots, N_k\}$ таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним из чисел $N_1, \dots, N_k$. Найдите наименьшее возможное значение $k$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 115416

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Системы алгебраических неравенств ]
[ Разложение на множители ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Числа a, b и c таковы, что  (a + b)(b + c)(c + a) = abc,  (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a3) = a³b³c³.  Докажите, что  abc = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66518

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4

В ряд лежат 100 монет, часть – вверх орлом, а остальные – вверх решкой. За одну операцию разрешается выбрать семь монет, лежащих через равные промежутки (т.е. семь монет, лежащих подряд, или семь монет, лежащих через одну, и т.д.), и все семь монет перевернуть. Докажите, что при помощи таких операций можно все монеты положить вверх орлом.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66872

Тема:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,10,11

Натуральное число $N$ кратно 2020. В его десятичной записи все цифры различны, причём если любые две из них поменять местами, получится число, не кратное 2020. При каком количестве цифр в десятичной записи числа $N$ такое возможно?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 77]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .