ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115416
Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Системы алгебраических неравенств ]
[ Разложение на множители ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Числа a, b и c таковы, что  (a + b)(b + c)(c + a) = abc,  (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a3) = a³b³c³.  Докажите, что  abc = 0.


Решение

  Заметим сначала, что  x² – xy + y² > |xy|  для любых различных чисел x и y.
   Предположим, что  abc ≠ 0.  Тогда, разделив второе равенство на первое, получим  (a² – ab + b²)(b² – bc + c²)(c² – ca + a²) = |ab|· |bc|·|ac|.
  Все скобки слева и все множители справа положительны; при этом каждый множитель слева не меньше соответствующего множителя справа. Поэтому равенство может достигаться лишь тогда, когда все эти три неравенства обращаются в равенства, то есть когда  a = b = c.  В этом случае первое равенство из условия принимает вид  8a³ = a³, что невозможно при  a ≠ 0.  Значит, наше предположение неверно, и  abc = 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008-2009
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 06.4.9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .