Задача 110112

Тема:    [ Задачи на движение ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Токарев С.И.

По шоссе мимо наблюдателя проехали "Москвич", "Запорожец" и двигавшаяся им навстречу "Нива". Известно, что когда с наблюдателем поравнялся "Москвич", то он был равноудалён от "Запорожца" и "Нивы", а когда с наблюдателем поравнялась "Нива", то она была равноудалена от "Москвича" и "Запорожца". Докажите, что "Запорожец" в момент проезда мимо наблюдателя был равноудалён от "Нивы" и "Москвича". (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудалённые машины находились по разные стороны от наблюдателя.)

Решение

  Пусть наблюдатель находится в точке O, а "Запорожец" и "Нива" в момент проезда "Москвича" мимо наблюдателя – в точках Z₀ и N₀ соответственно. Через Z₁ и M₁ обозначим точки, где находились соответственно "Запорожец" и "Москвич" в тот момент, когда мимо наблюдателя проезжала "Нива", а через M₂ и N₂ – точки, где находились соответственно "Москвич" и "Нива", когда с наблюдателем поравнялся "Запорожец".
  В силу постоянства скоростей  Z₀Z₁ : Z₀O = OM₁ : OM₂,  Z₀Z₁ : Z₁O = ON₀ : ON₂,  откуда  OM₂ = Z₀O·^OM₁/_Z0Z1,  ON₂ = ON₀·^OZ₁/_Z0Z1 .
  По условию  Z₀O = ON₀  и  OM₁ = OZ₁,  следовательно,  OM₂ = ON₂,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2002
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	02.4.8.7