Версия для печати
Убрать все задачи

---

Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Разным буквам соответствуют разные цифры.

   Решение

---

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

---

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

   Решение

---

Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим y_b как образ прямой y при симметрии относительно XB, а y_c – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть y_b и y_с пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих y_b и y_с).

   Решение

---

Вася в ярости режет прямоугольный лист бумаги ножницами. Каждую секунду он разрезает первый попавшийся кусок случайным прямолинейным разрезом на две части.
  а) Найдите математическое ожидание числа сторон многоугольника, который случайно попадётся Васе через час такой работы.
  б) Решите эту же задачу, если вначале лист бумаги имел форму произвольного многоугольника.

   Решение

Темы:    [ Максимальное/минимальное расстояние ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В правильной пирамиде SMNPQ ( S – вершина) точки H и F – середины рёбер MN и NP соответственно, точка E лежит на отрезке SH , причём SH = 3 , SE = . Расстояние от точки S до прямой EF равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке S . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры ABCD такие, что точки C и D лежат на прямой EF , а прямая AB касается сферы в одной из точек отрезка AB . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

Решение

Пусть K – середина FH (рис.1), G – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на прямую FE , L – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на FH , FT – высота треугольника SFH . Положим HF = 2x . Поскольку пирамида SMNPQ правильная, SF = SH = 3 . Поэтому

SK = = , FT = = ,

EL = SK· = · = ,

HL = KH = , FL = FH - HL = ,

FE = = = = ,
а т.к. FE· SG = SE· FT (удвоенная площадь треугольника SEF ), имеем уравнение
· = · .
После очевидных преобразований получим уравнение
36x4 - 84x2 + 45 = 0,
откуда x = или x = . Пусть SO – высота пирамиды SMNPQ . Обозначим через a сторону квадрата MNPQ . Тогда
2x = FH = MP = , a = 2x,

SO = = = .
Если x = , то
a = 2, S_MNPQ = a2 = 12, SO = .
Следовательно,
V_SMNPQ = S_MNPQ· SO = · 12· = 4.
Если x = , то
a = , S_MNPQ = a2 = , SO = .
Следовательно,
V_SMNPQ = S_MNPQ· SO = · · = .
Пусть вершины C и D правильного тетраэдра ABCD лежат на прямой EF (рис.2), а вершины A и B – на прямой, касающейся данной сферы в точке X , лежащей на отрезке AB . Так как противоположные рёбра правильного тетраэдра перпендикулярны, то CD AB . Через прямую AB проведём плоскость, перпендикулярную прямой EF (рис.3). Эта плоскость пересекает сферу по окружности радиуса r 1 с центром S1 , а прямую EF – в некоторой точке Y . Пусть b – ребро тетраэдра ABCD . Тогда расстояние между прямыми CD и AB равно . Это расстояние равно длине перпендикуляра YZ , опущенного из точки Y на прямую AB . Обозначим YZ = t , YS1X = α . Опустим перпендикуляр YU из точки Y на прямую S1X . Из прямоугольного треугольника S1YU находим, что
r + t = S1X + XU = S1U = S1Y cos α = cos α,
откуда t = cos α - r . Поскольку при увеличении угла косинус убывает, наименьшее значение величина t принимает при наибольшем возможном α . Значит, перпендикуляр YZ наименьший, если точка X совпадает с точкой A или с точкой B . В этом случае будет наименьшим и ребро тетраэдра ABCD при данном r 1 . Пусть прямая AB касается окружности с центром S1 в точке A (рис.4). Опустим перпендикуляр YV из точки Y на прямую S1A . В прямоугольном треугольнике S1VY известно, что
S1Y = , YV = AZ = , S1V = S1A + AV = S1A + YZ = r + .
По теореме Пифагора
S1V2 + YV2 = S1Y2, или (r+)2 + = 5.
После очевидных преобразований получим квадратное уравнение
3b2 + 4br + 4r2 - 20 = 0.
Так как r 1 , это уравнение имеет единственный положительный корень
b = ( - ).
Полученное выражение принимает наименьшее значение при наибольшем возможном r , т.е. при r = 1 . В этом случае
b = ( - ) = ( - 1).

Ответ

V = 4 или V = ; a_min = .

Источники и прецеденты использования