Задача 78522

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Условие

Известно, что при любом целом  K ≠ 27  число  a – K³  делится на  27 – K. Найти a.

Решение

Заметим, что   = + = + 27² + 27K + K².   Следовательно, число     – целое при любом  K ≠ 27,  то есть число
a – 27³  делится на любое целое число, отличное от нуля, а значит,  a = 27³.

Ответ

a = 3⁹.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	3