Задача 78002

Тема:    [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Условие

Найти все решения системы уравнений   x(1 – 2^–n) + y(1 – 2^–n–1) + z(1 – 2^–n–2) = 0,   где  n = 1, 2, 3, 4, ...

Решение

  Указанная бесконечная система уравнений эквивалентна системе двух уравнений:  x + y + z = 4x + 2y + z = 0.
  Действительно, если мы вычтем из первого уравнения второе, умноженное на 2^–n–2, то получим n-е уравнение исходной системы.
  С другой стороны, из первых двух уравнений исходной системы  x(1 – ½) + y(1 – ¼) + z(1 – ⅛) = 0,  x(1 – ¼) + y(1 – ⅛) + z(1 – ¹/₁₆) = 0  следуют указанные два уравнения. Действительно, вычтя из первого уравнения второе, получим  ^x/₄ + ^y/₈ + ^z/₁₆ = 0.  Прибавив это ко второму уравнению, получим
x + y + z = 0.

Ответ

(t, – 3t, 2t)  (t – произвольное число).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	5