Задача 76492
|
|
 |
Условие
Найти целое число a, при котором (x – a)(x – 10) + 1 разлагается в произведение (x + b)(x + c) двух множителей с целыми b и c.
Решение
Пусть (x – a)(x – 10) + 1 = (x + b)(x + c).
Первый способ. Положив x = – b, получим (b + a)(b + 10) = –1. Поэтому либо b + 10 = 1, b + a = –1, то есть a = 8; либо b + 10 = – 1, b + a = 1, то есть a = 12. В первом случае (x – 8)(x – 10) + 1 = (x – 9)², а во втором – (x – 12)(x – 10) + 1 = (x – 11)².
Второй способ. Подставив x = 10, получим (b + 10)(с + 10) = 1. Поэтому b + 10 = c + 10 = ±1, то есть либо b = c = –9, либо b = c = – 11. Подставив x = 0, получим 10a + 1 = bc, откуда находим a.
Ответ
a = 8 или 12.
