|
|
 |
Условие
Назовём натуральное число $n$ интересным, если $n$ и $n+2023$ – палиндромы, то есть числа, одинаково читающееся слева направо и справа налево. Найдите наименьшее и наибольшее интересные числа.Решение
Найдём наименьшее интересное число. Посмотрим для начала, может ли интересное $n$ быть настолько малым, чтобы выполнялось $n+2023 \leqslant 2999$, т.е. $n \leqslant 976$. В этом случае $n+2023$ заключено между $2023$ и $2999$, и потому начинается на $2$ — а значит, и заканчивается тоже. Раз сумма $n+2023$ заканчивается на $2$, само $n$ заканчивается на $9$. Отметим, что $n$ не может быть ни однозначным ($2023+9=2032$ — не палиндром), ни двузначным (тогда оно было бы равно $99$, а $2023+99=2122$ — не палиндром). Значит, $n$ трёхзначное, и имеет вид $9\rm{?}9$. Но тогда сумма $n+2023$ не меньше $2900$, и значит, должна равняться $2992$. Вычитая, находим $n=2992-2023=969$. Итак, $n=969$ — это наименьшее интересное число.Найдём теперь наибольшее интересное число. Предположим, $n$ – пятизначное или более. При добавлении $2023$ либо количество цифр увеличится, и тогда первая цифра изменится с $9$ на $1$, то есть на $2$ (с переходом через десяток), либо количество цифр останется прежним, и тогда первая цифра не изменится или изменится на $1$. Но последняя цифра изменяется на $3$ (возможно, с переходом через десяток) – противоречие.
Чтобы $2023+\overline{abba}$ было палиндромом, оно должно быть пятизначным. Иначе в разряде сотен цифра $b$ увеличивается на $1$ или не изменяется, а в разряде десятков – на $2$ или $3$. Значит, первая цифра числа $2023+\overline{abba}$ – это $1$, а последняя цифра будет равна $1$ только при $a=8$. В разряде тысяч у числа $2023+\overline{8bb8}$ может быть либо $0$, либо $1$. Чтобы получить ту же цифру в разряде десятков, $b=8$ или $b=7$. Число $8888$ не подходит: $8888+2023=10911$, а вот $8778$ – интересное: $8778+2023 = 10801$.
