|
|
 |
Условие
Дан многочлен $P(x)$ степени $n>5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.Решение
Пронумеруем корни многочлена в порядке возрастания $a_1< a_2< \ldots< a_n$. Тогда многочлен можно представить в виде $$ P(x)=a(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n), a\ne0,\quad a,a_1,a_2,\ldots,a_n\in \mathbb{Z}. $$Покажем, что значение многочлена $P$ в любой точке локального экстремума по модулю больше $3$ (тогда при сдвиге графика многочлена на 3 единицы вверх или вниз количество его точек пересечения с осью абсцисс не изменится). Точки локальных экстремумов многочлена $P$ находятся на промежутках $(a_{i};a_{i+1})$, $i=1,2,\ldots, n-1$.
Вычислим значения $|P(x)|$ в точках $x_i=a_i+\frac{1}{2}$. По условию корней не меньше шести, следовательно, \begin{multline*} |P(x_i)|= |a(x_i-a_1)(x_i-a_2)\ldots (x_i-a_n)|\geqslant |a|\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{9}{4}\cdot\frac{25}{4}=\\ =|a|\cdot\frac{225}{64}=|a|\cdot 3\frac{33}{64}>3. \end{multline*}
В нестрогом неравенстве учтены шесть наименьших по модулю множителей. Остальные множители, которые будут при $n > 6$, по модулю больше единицы и только усиливают неравенство.
