|
|
 |
Условие
Существует ли вписанный в окружность $N$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если
а) $N$ = 19;
б) $N$ = 20?
Решение
а) Пусть такой 19-угольник существует. Рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на его последовательные стороны. Все они разные, и сумма каждых двух углов, соответствующих соседним сторонам, целая (она дополняет один из углов 19-угольника до 180°. Рассмотрим два случая.
1) Все эти вписанные углы выражаются целым числом градусов.
Тогда их сумма не меньше 1° + 2° + ... + 19° > 180°, что невозможно.
2) Есть угол с ненулевой дробной частью ε. Тогда у соседнего угла дробная часть равна 1 – ε, у следующего – снова ε и т.д. Поскольку 19 – нечётное число, то ε = 0,5. Но тогда сумма углов, опирающихся на все стороны, не меньше (0,5° + 1,5° + 2,5° + ... + 18,5°) = 0,5(1° + 3° + 5° + ... + 37°) = 0,5·361° > 180°. Снова противоречие.
б) Пример. Пусть вписанные углы, опирающиеся на последовательные стороны 20-угольника, равны 4,4°, 4,6°, 5,4°, 5,6°, ..., 13,4°, 13,6°. Сумма этих чисел равна 2(4° + 5° + ... + 13°) + 10° = 180°. Каждый угол 20-угольника равен 180° минус сумма двух соседних из указанного списка углов, а все эти суммы целые.
Ответ
а) Не существует. б) Существует.
Замечания
баллы: 4 + 3
