В музее Гугенхайм в Нью-Йорке есть скульптура, имеющая форму куба. Жук, севший на одну из вершин, хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру, чтобы перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать?

   Решение

Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что  DE || AC.  Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что  DP || EQ.  Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что  ∠XBY + ∠PBQ = 180°.

   Решение

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, боковые рёбра которой, наклонены к плоскости основания под углом α и удалены от середины противоположной стороны основания на расстояние l .

   Решение

В пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.
Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.

Решение

  Пусть I, H – соответственно центр вписанной окружности и ортоцентр треугольника. При гомотетии с центром M и коэффициентом –½ точки N и H переходят в I и O соответственно (см. задачу 57784). Поэтому  ∠MON = 90°  тогда и только тогда, когда  IO = IH.
  Если один из углов треугольника равен 60°, то  IO = IH  согласно задаче 56867 б).
  Пусть  IO = IH.  Разберём два случая.
  1)  AO = AH.  Тогда согласно задаче 55599  ∠A = 60°  или 120°. В последнем случае углы B и C меньше 60°, значит,  BO ≠ BH,  CO ≠ CH,  и мы фактически приходим к случаю 2.
  2)  AO ≠ AH,  BO ≠ BH.  Так как AI – биссектриса угла HAO, то в треугольниках AOI и AHI сторона AI – общая,  IO = IH,  ∠OAI = ∠HAI,  но  AO ≠ AH.  Следовательно,  ∠AOI + ∠AHI = 180°,  то есть точки A, O, I, H лежат на одной окружности. Аналогично точки B, O, I, H лежат на одной (причём той же) окружности. Если треугольник ABC – остроугольный, то  2∠C = ∠AOB = ∠AHB = 180° – ∠C  и  ∠C = 60°.
  Случаи неостроугольного треугольника разбираются аналогично и приводят к тому же результату или к противоречию.

Источники и прецеденты использования