|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1.
а) Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Пусть A2 – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA1 и AA2 симметричны относительно биссектрисы угла A.
Решение
а) Обозначим первую из указанных окружностей через α. Так как точка A является центром положительной гомотетии α и Ω, а точка A1 – центром отрицательной гомотетии α и ω, то прямая AA1 проходит через центр отрицательной гомотетии Ω и ω. Через эту же точку проходят две другие прямые.
б) Известно, что центр отрицательной гомотетии Ω и ω изогонально сопряжен точке Жергонна (см., например книгу А.В. Акопяна и А.А. Заславского "Геометрические свойства кривых второго порядка", с. 57), в которой пересекаются прямые AA2, BB2 и CC2 (см. задачу 53788). Отсюда сразу следует утверждение задачи.
