Задача 65049

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Авторы: Белухов Н., Маринов М.

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A₁ на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
  б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.

Решение

  а) Пусть P_a, P_b, P_c – середины высот AH_a, BH_b, CH_c. Очевидно, что точки A', B', C' лежат на сторонах треугольника P_aP_bP_c и делят их в тех же отношениях, в каких точки A₁, B₁, C₁ делят стороны треугольника ABC. Осталось воспользоваться теоремой Менелая.

  б) Если l проходит через центр O описанной окружности, то (как видно из вышеизложеного) l' проходит через точку O', в которую перейдёт O при аффинном преобразовании, переводящем треугольник ABC в треугольник P_aP_bP_c. Поэтому достаточно проверить наше утверждение для каких-то двух прямых, проходящих через O. Например, для прямых, проходящих через какую-нибудь вершину треугольника.
  Пусть C₁ – точка пересечения CO и AB,  X, Y – проекции C₁ на AC и BC; A₀, B₀, C₀ – середины BC, CA, AB,  U, V – середины XY и A₀B₀,  Q – точка пересечения серединного перпендикуляра к A₀B₀ с UP_c (см. рис.). Так как  XY || AB,  точки V, U лежат на медиане СС₀. Значит,
VQ : CP_c = UV : UC = C₁O : CC₁,  откуда  VQ = ½ OC₀  и Q – центр описанной окружности треугольника A₀B₀C₀, то есть окружности девяти точек.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	23