ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61424
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
Название задачи: Неравенство Мюрхеда.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть  α = (α1, ..., αn)  и  β = (β1, ..., βn)  – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  x1, ..., xn  выполняется неравенство  Tα(x1, ..., xn) ≥ Tβ(x1, ..., xn).
Определение многочленов Tα смотри в задаче 61417, определение сравнения для показателей можно найти в справочнике.


Решение

Очевидно, достаточно доказать неравенство в случае, когда набор β получается из набора α сбрасыванием одного "кирпича" на диаграмме Юнга. Проведём доказательство для случая, когда делается переход от  β = (α1 – 1, α2 + 1, α3, ..., αn)  к  α = (α1, α2, α3, ..., αn),  где  α1 – α2 ≥ 2.  При этом каждый одночлен вида    заменяется одночленом вида    Для доказательства неравенства  Tα(x1, ..., xn) ≥ Tβ(x1, ..., xn)  сгруппируем все одночлены, входящие в данное неравенство, парами:     и проверим, что разность таких пар всегда неотрицательна. Действительно,      поскольку  α1 – 1 > α2  и разность    имеет тот же знак, что и  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 4
Название Симметрические неравенства
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.073

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .