Задача 61389

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите неравенство  (1 + x₁)...(1 + x_n) ≥ 2ⁿ,  где x₁...x_n = 1.
Значения переменных считаются положительными.

Решение

Раскрыв скобки в левой части, мы получим сумму 2n слагаемых, каждое из которых есть произведение нескольких переменных. Эти слагаемые разбиваются на 2^n–1 пар взаимно обратных чисел (например,    ).   Сумма чисел в каждой паре согласно неравенству Коши не меньше 2. Значит, вся сумма не меньше 2ⁿ.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	1
Название	Различные неравенства
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.038