Задача 61147

Темы:    [ Основная теорема алгебры и ее следствия ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4- Классы: 10,11 Название задачи: Положительные многочлены.

Условие

Многочлен P(x) при всех действительных x принимает только положительные значения.
Докажите, что найдутся такие многочлены a(x) и b(x), для которых  P(x) = a²(x) + b²(x).

Решение

Многочлен P(x) не имеет действительных корней, поэтому все его корни разбиваются на пары комплексно сопряженных чисел z₁, z₁, ..., z_n, z_n (см.задачу 61113). Пусть   (x – z_k) = a(x) + ib(x).   Тогда   (x – ) = a(x) – ib(x).   Отсюда  P(x) = a²(x) + b²(x).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.083