Версия для печати
Убрать все задачи

---

Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Разным буквам соответствуют разные цифры.

   Решение

---

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

---

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

   Решение

---

Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим y_b как образ прямой y при симметрии относительно XB, а y_c – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть y_b и y_с пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих y_b и y_с).

   Решение

---

Вася в ярости режет прямоугольный лист бумаги ножницами. Каждую секунду он разрезает первый попавшийся кусок случайным прямолинейным разрезом на две части.
  а) Найдите математическое ожидание числа сторон многоугольника, который случайно попадётся Васе через час такой работы.
  б) Решите эту же задачу, если вначале лист бумаги имел форму произвольного многоугольника.

   Решение

---

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

   Решение

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Касательные к параболе в точках ,, образуют треугольник ABC (рис.). Докажите, что:
а) описанная окружность треугольника ABC проходит через фокус параболы;
б) высоты треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на директрисе параболы;
в) ;
г) .

Решение

а) Проекция фокуса F на касательную к параболе лежит на касательной к параболе, перпендикулярной оси. Поэтому проекции A', B', C' фокуса F на прямые BC, CA, AB лежат на одной прямой. Это означает, что точка F лежит на описанной окружности треугольника ABC. В самом деле, AFC' = AB'C' = A'B'C = A'FC, поэтому CFA = A'FC' = 180^o - B.
б) Касательные к параболе x² = 4y в точках (2t_i, t_i²) задаются уравнениями y = t_ix - t_i². Они пересекаются в точках (t_i + t_j, t_it_j). Легко проверить, что ортоцентром треугольника с вершинами в трех таких точках служит точка (t₁ + t₂ + t₃ + t₁t₂t₃, - 1).
в) Можно считать, что парабола задается уравнением x² = 4y. В таком случае точки ,, имеют координаты (2t_i, t_i²), i = 1, 2, 3. Легко проверить, что

г) Существует аффинное преобразование, переводящее ось параболы и прямую AC в пару перпендикулярных прямых. Поэтому можно считать, что точки ,, имеют координаты (2t₁, t₁²),(0, 0),(2t₃, t₃²), причем t₁ < 0 и t₃ > 0. В таком случае

Источники и прецеденты использования