Задача 116900

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Туманян А.

Окружность Ω описана около треугольника ABC. На продолжении стороны AB за точку B взяли такую точку B₁, что  AB₁ = AC.  Биссектриса угла A пересекает Ω вторично в точке W. Докажите, что ортоцентр треугольника AWB₁ лежит на Ω.

Решение

Пусть H – вторая точка пересечения Ω с прямой CB₁. Поскольку AW – биссектриса равнобедренного треугольника AB₁C, то  B₁H ⊥ AW.  Если точки C и W лежат по одну сторону от AH, то  ∠AWH = ∠ACH = 90° – ∠CAW = 90° – ∠WAB,  то есть  WH ⊥ AB₁  (см. рис.). Если они лежат по разные стороны, то  ∠AWH = 180° – ∠ACH = 90° + ∠WAB,  откуда опять же следует, что  WH ⊥ AB₁.  Наконец, если эти точки совпадают, то треугольник AWB₁ прямоугольный, и  H = W  – его ортоцентр. В любом случае точка H лежит на двух высотах треугольника AWB₁, то есть является его ортоцентром.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
класс
Класс	8
задача
Номер	8.6