Задача 116303

Темы:    [ Прямая Гаусса ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Продолжения противоположных сторон AB и CD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P , а продолжения сторон BC и AD — в точке Q . Докажите, что середины диагоналей AC и BD , а также середина отрезка PQ лежат на одной прямой (прямая Гаусса}.

Решение

Пусть K , L и M — середины AC , BD и PQ соответственно, а точки P1 , A1 и D1 — середины сторон соответственно AD , DP и AP треугольника APD . Тогда точки D1 , K и P1 — лежат на одной прямой — средней линии треугольника APD . Аналогично, точки A1 , L , P1 лежат на одной прямой и точки D1 , M , A1 лежат на одной прямой.
Применив теорему Менелая к треугольнику APD и прямой BQ , получим, что

· · =1,
а т.к.
=, =, =,
то
· · = · · =1.
Следовательно, по теореме, обратной теореме Менелая (треугольник A1D1P1 ), точки K , L и M лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6149