Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?

   Решение

Основанием пирамиды служит параллелограмм, соседние стороны которого равны 9 и 10, а одна из диагоналей равна 11. Противоположные боковые рёбра равны и каждое из больших рёбер равно 10 . Найдите объём пирамиды.

   Решение

а) В каждой вершине куба написано число 1 или число 0. На каждой грани куба написана сумма четырёх чисел, написанных в вершинах этой грани. Может ли оказаться, что все числа, написанные на гранях, различны?
б) Тот же вопрос, если в вершинах написаны числа 1 или –1.

   Решение

Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:

– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.

– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.

Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .

   Решение

Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$. Прямая $AO$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, $M$ — середина $BC$. Описанная окружность треугольника $ADM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $E$, отличной от $A$. Докажите, что прямая $OE$ касается описанной окружности треугольника $AXY$.

   Решение

Определить коэффициенты, которые будут стоять при x¹⁷ и x¹⁸ после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении

   Решение

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны a и b . Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

Решение

Пусть K , L , M и N середины сторон соответственно AB , BC , CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD с диагоналями AC=a и BD=b , причём AC BD .
Отрезки KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC , поэтому KL || AC , KL=AC , MN || AC , MN=AC . Две противоположные стороны четырёхугольника KLMN равны и параллельны, значит, это параллелограмм, а т.к. его стороны соответственно параллельны диагоналям четырёхугольника ABCD , то KLMN — прямоугольник. Его площадь равна произведению соседних сторон, причём KL=AC и LM = BD . Следовательно,

S_KLMN=KL· LM = AC· BD= a· b=ab.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования