Даны две окружности радиусов R и r ( R>r ), имеющие внутреннее касание. Найдите радиус третьей окружности, касающейся первых двух окружностей и их общего диаметра.

   Решение

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

   Решение

Докажите, что проективное преобразование прямой однозначно определяется образами трех произвольных точек.

   Решение

Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если вместо букв в него подставить цифры от 1 до 9 (разным буквам соответствуют разные цифры)?

   Решение

На плоскости даны две окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_{1}$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_{2}$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.

   Решение

Вася в течение 10 дней решал задачи — каждый день хотя бы одну. Каждый день (кроме первого), если погода была пасмурная, то он решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а если солнечная — на одну задачу меньше. За первые 9 дней Вася решил 13 задач. Какая погода была на десятый день?

   Решение

Тема:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На гранях правильного тетраэдра с ребром a как на основаниях построены равные правильные пирамиды. Плоские углы в этих пирамидах при вершинах, противолежащих граням тетраэдра, прямые. Рассмотрим многогранник, образованный тетраэдром и построенными пирамидами. Сколько граней у этого многогранника? Как он называется?

Решение

Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 . Все рёбра треугольной пирамиды ACB1D1 равны. Значит, эта пирамида – правильный тетраэдр. На боковых гранях правильного тетраэдра ACB1D1 как на основаниях построены правильные треугольные пирамиды DACD1 с вершиной D , A1AB1D1 с вершиной A1 , BAB1C с вершиной B и C1CB1D1 с вершиной C1 . Плоские углы при вершинах этих четырёх пирамид равны по 90^o . Обратно, для любого правильного тетраэдра существует единственный куб, скрещивающиеся диагонали противоположных граней которого являются рёбрами данного правильного тетраэдра (достаточно провести через скрещивающиеся диагонали противоположных граней тетраэдра три пары параллельных плоскостей). На боковой грани этого тетраэдра как на основании можно построить внешним образом единственную правильную треугольную пирамиду, плоские углы при вершине которой прямые. Ясно, что боковые грани такой пирамиды лежат в гранях куба.

Ответ

6 граней; куб.

Источники и прецеденты использования