Задача 109024

Тема:    [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Решить систему уравнений:
   x₁ + 12x₂ = 15,
   x₁ – 12x₂ + 11x₃ = 2,
   x₁ – 11x₃ + 10x₄ = 2,
   x₁ – 10x₄ + 9x₅ = 2,
   x₁ – 9x₅ + 8x₆ = 2,
   x₁ – 8x₆ + 7x₇ = 2,
   x₁ – 7x₇ + 6x₈ = 2,
   x₁ – 6x₈ + 5x₉ = 2,
   x₁ – 5x₉ + 4x₁₀ = 2,
   x₁ – 4x₁₀ + 3x₁₁ = 2,
   x₁ – 3x₁₁ + 2x₁₂ = 2,
   x₁ – 2x₁₂ = 2.

Решение

Сложив первые два уравнения, получим  2x₁ + 11x₃ = 17;  сложив первые три уравнения, получим  3x₁ + 10x₄ = 19;  ...; сложив все уравнения, получим  12x₁ = 37.  Отсюда  x₁ = ³⁷/₁₂,  x₂ = (15 – x₁) : 12 = ¹⁴³/₁₄₄,  x₃ = (17 – 2x₁) : 11 = ⁶⁵/₆₆,  и т.д.

Ответ

(³⁷/₁₂, ¹⁴³/₁₄₄, ⁶⁵/₆₆, ³⁹/₄₀, ²⁶/₂₇, ⁹¹/₉₆, ¹³/₁₄, ⁶⁵/₇₂, ¹³/₁₅, ¹³/₁₆, ¹³/₁₈, ¹³/₂₄).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1965
Номер	15
Задача
Название	Задача 8.5