Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Разным буквам соответствуют разные цифры.

   Решение

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

   Решение

Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим y_b как образ прямой y при симметрии относительно XB, а y_c – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть y_b и y_с пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих y_b и y_с).

   Решение

Вася в ярости режет прямоугольный лист бумаги ножницами. Каждую секунду он разрезает первый попавшийся кусок случайным прямолинейным разрезом на две части.
  а) Найдите математическое ожидание числа сторон многоугольника, который случайно попадётся Васе через час такой работы.
  б) Решите эту же задачу, если вначале лист бумаги имел форму произвольного многоугольника.

   Решение

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть O, I, M и H – соответственно центры описанной, вписанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что если какие-то две из этих точек совпадают, то этот треугольник равносторонний.

Подсказка

Если медиана и биссектриса треугольника, проведённые из одной вершины, совпадают, то этот треугольник равнобедренный.

Решение

  1) Пусть совпадают точки O и M. Тогда каждый из трёх равных отрезков OA, OB и OC равен ⅔ соответствующей медианы. Значит, три медианы треугольника равны. Следовательно, этот треугольник равносторонний.
  2) Пусть совпадают точки M и I. Тогда, например, медиана и биссектриса треугольника ABC, проведённые из вершины A, совпадают, поэтому  AB = AC. Остальное аналогично.
  3) Пусть совпадают точки O и H. Тогда, например, высота и медиана треугольника ABC, проведённые из вершины A, совпадают, поэтому  AB = AC.  Остальное аналогично.
  Аналогично рассматриваются остальные три случая.

Источники и прецеденты использования