ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 107983
УсловиеДля двух данных различных точек плоскости A и B найдите геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, а его угол A - средний по величине.Комментарий. Под средним по величине углом мы понимаем угол, который не больше одного из углов, и не меньше другого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.
РешениеПроведем через точку A прямую, перпендикулярную отрезку AB. Ясно, что BAC < 90o тогда и только тогда, когда точки B и C лежат по одну сторону от этой прямой. Теперь понятно, что множество таких точек, что A < 90o и B < 90o, есть полоса, границы которой проходят через точки A и B и перпендикулярны отрезку AB (рис. 1а).Построим окружность на отрезке AB как на диаметре. Если точка C лежит на этой окружности, то ACB = 90o, если внутри, то этот угол тупой, если снаружи - острый. Значит, геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, совпадает с множеством, заштрихованным на рис. 1б).
1а) 1б) Условие, что угол A средний по величине, можно записать как BAC или CAB. Так как против большего угла лежит большая сторона, условие BAC эквивалентно условию Рассмотрим серединный перпендикуляр к отрезку AB. Точки этого перпендикуляра равноудалены от точек A и B. Точки, лежащие по ту же сторону от перпендикуляра, что и точка A, ближе к точке A, чем к точке B. Значит, геометрическое место таких точек C, что ACBC, есть полуплоскость, отсекаемая серединным перпендикуляром, и содержащая точку A.Рассмотрим круг, с центром в точке B и радиусом AB. Условие BCAB равносильно тому, что точка C лежит внутри этого круга. Итак, геометрическое место точек, удовлетворяющих условию (1 ), есть множество, изображенное на рис. 2а). Аналогично, условие CAB эквивалентно условию ABBCAC, и соответствующее геометрическое место точек изображено на рис. 2б). Объединяя множества, изображенные на рис. 2а) и 2б), получим геометрическое место таких точек C, что в треугольнике ABC угол A - средний по величине (рис. 2в). Осталось нарисовать пересечение ГМТ на рис. 2в) с ГМТ на рис. 2б). 2а) 2б) 2в)
Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|