Страница:
<< 66 67 68 69
70 71 72 >> [Всего задач: 786]
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника
ABC в точках A и C, пересекаются в точке Z. AA1, CC1 – высоты. Прямая A1C1 пересекает прямые ZA, ZC в точках X и Y соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников
ABC и XYZ касаются.
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
Точка E – середина отрезка, соединяющего ортоцентр неравнобедренного остроугольного треугольника ABC с его вершиной A. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон AB и AC в точках C' и B' соответственно. Докажите, что точка F, симметричная точке E относительно прямой B'C', лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
|
|
Сложность: 5+ Классы: 9,10,11
|
Пусть ABC – остроугольный треугольник, в котором AC < BC; M – середина стороны AB. В описанной окружности Ω треугольника ABC, проведён диаметр CC'. Прямая CM пересекает прямые AC' и BC' в точках K и L соответственно. Перпендикуляр к прямой AC', проведённый через точку K, перпендикуляр к прямой BC', проведённый через точку L, и прямая AB образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.
|
|
Сложность: 5+ Классы: 8,9,10
|
Пусть окружность, вписанная в треугольник
ABC , касается
его сторон
AB ,
BC и
AC в точках
K ,
L и
M
соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники
BKL ,
CLM и
AKM проведены попарно общие внешние
касательные, отличные от сторон треугольника
ABC .
Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.
а) На стороне
AB треугольника
ABC взята точка
P. Пусть
r,
r1 и
r2 — радиусы вписанных окружностей
треугольников
ABC,
BCP и
ACP;
h — высота, опущенная из
вершины
C. Докажите, что
r =
r1 +
r2 - 2
r1r2/
h.
б) Точки
A1,
A2,
A3,... лежат на одной прямой (в
указанном порядке). Докажите, что если радиусы вписанных
окружностей всех треугольников
BAiAi + 1 равны одному и тому
же числу
r1, то радиусы вписанных окружностей всех
треугольников
BAiAi + k равны одному и тому же числу
rk.
Страница:
<< 66 67 68 69
70 71 72 >> [Всего задач: 786]