Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]
|
|
Сложность: 4- Классы: 10,11
|
Последовательности {ak} и {bk} строятся по следующему закону: a1 = 1, an+1 = min(an, bn), bn+1 = |bn – an| (n ≥ 1).
а) Докажите, что an ≠ 0 и an стремится к 0 при n → ∞.
б) Докажите, что последовательность имеет предел и найдите этот предел.
[Алгоритм Евклида для многочленов]
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11
|
Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором s ≥ 1 существуют такие многочлены A0(x), A1(x), ..., As(x) и R1(x), ..., Rs(x), что degQ(x) > degR1(x) > degR2(x) > ... > degRs(x) ≥ 0,
P(x) = Q(x)A0(x) + R1(x),
Q(x) = R1(x)A1(x) + R2(x),
R1(x) = R2(x)A2(x) + R3(x),
...
Rs–2(x) = Rs–1(x)As–1(x) + Rs(x),
Rs–1(x) = Rs(x)As(x)
и (P(x), Q(x)) = Rs(x).
|
|
Сложность: 4 Классы: 7,8,9
|
На доске написаны два различных натуральных числа a и b. Меньшее из них стирают, и вместо него пишут число (которое может уже оказаться нецелым). С полученной парой чисел делают ту же операцию и т.д. Докажите, что в некоторый момент на доске окажутся два равных натуральных числа.
|
|
Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11
|
Как связано разложение рационального числа в цепную дробь с алгоритмом Евклида?
[Алгоритм Евклида]
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10
|
а) Пусть m0 и m1 – целые числа,  0 < m1 ≤ m0.
Докажите, что при некотором k > 1 существуют такие целые числа a0, a1, ..., ak и m2, ..., mk, что
m1 > m2 > m3 > ... > mk > 0, ak > 1,
m0 = m1a0 + m2,
m1 = m2a1 + m3,
m2 = m3a2 + m4,
...
mk–2 = mk–1ak–1 + mk,
mk–1 = mkak,
и (m0, m1) = mk.
б) Докажите, что для любого s от  k – 1  до 0 существуют такие числа us, vs, что msus + ms+1vs = d, где d = (m0, m1).
В частности, для некоторых u и v выполняется равенство m0u + m1v = d.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]