Страница:
<< 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 499]
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить 12345 + 6 + 789 = 13140). С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.
Пусть A – сумма цифр числа 44444444, а B – сумма цифр числа A. Найдите сумму цифр числа B.
К числу справа приписывают тройки. Докажите, что
когда-нибудь получится составное число.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Для каждого натурального n обозначим через s(n) сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде m = n + s(n). (Например, число 117 не особое, поскольку 117 = 108 + s(108), а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.
б) Даны натуральные числа k и n, причём 1 < k < n. Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m ладей на доске размером n×n клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?
Страница:
<< 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 499]