Каталог по темам

Выбрано 6 задач

Пусть a и b — целые числа. Напишем число b справа от числа a. Если число a чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число a₁ напишем под числом a. Справа от числа a₁ напишем число 2b. С числом a₁ проделаем ту же операцию, что и с числом a, и, получив число a₂, напишем его под числом a₁. Справа от числа a₂ напишем число 4b и так далее. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не получим в левом столбце число 1. Доказать, что сумма тех чисел правого столбца, слева от которых стоят нечётные числа, равна произведению ab.

Решение

Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {a_n} и {b_n} по правилам:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается μ(a, b).

Решение

У игрока в преферанс оказалось 4 козыря, а еще 4 находятся на руках у двух его противников. Какова вероятность того, что козыри лягут а) 2 : 2; б) 3 : 1; в) 4 : 0?

Решение

Числа a₁, a₂, ..., a_k таковы, что равенство

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ (x_n + a₁x_{n - 1} +...+ a_kx_{n - k}) = 0

возможно только для тех последовательностей {x_n}, для которых $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ x_n = 0. Докажите, что все корни многочлена

P( $\displaystyle \lambda$ ) = $\displaystyle \lambda^{k}_{}$ + a₁ $\displaystyle \lambda^{k-1}_{}$ + a₂ $\displaystyle \lambda^{k-2}_{}$ +...+ a_k

по модулю меньше 1.

Решение

В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P, Q сторон AB, CD и середины S, T сторон BC, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST. Найдите длину отрезка MN.

Решение

Напишите в строчку первые 10 простых чисел. Как вычеркнуть 6 цифр, чтобы получилось наибольшее возможное число?

Решение

Задача 87981

Задача 87992

Задача 88081

Задача 88142

Задача 88143