Страница: 1 [Всего задач: 2]      

Найти все такие натуральные k, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

Решение

Рассмотрим 3 случая:
1. Пусть k = 2n + 1, где n ≥ 2. Тогда k можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел n и (n + 1), каждое из которых больше единицы.
2. Пусть теперь k = 4n, где n ≥ 2. В таком случае k представляется в виде суммы двух взаимно простых чисел (2n + 1) и (2n - 1), каждое из которых снова больше единицы.
3. Наконец, если k = 4n + 2, где n ≥ 2, то можно представить число k в виде суммы взаимно простых чисел (2n + 3) и (2n - 1), каждое из которых по-прежнему превышает единицу.
Нетрудно заметить, что рассмотренные серии содержат в себе все натуральные числа, кроме чисел 1, 2, 3, 4 и 6. Непосредственной проверкой легко устанавливается, что ни одно из оставшихся чисел нельзя представить в требуемом виде.

Ответ

Все натуральные числа, кроме 1, 2, 3, 4 и 6.

Прислать комментарий

Докажите, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел. Например, 52=4³+(-3)³+2³+2³+(-1)³.

Подсказка

Докажите, что каждое число, кратное 6 можно представить в таком виде.

Прислать комментарий

Страница: 1 [Всего задач: 2]