ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Варианты:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи В музее Гугенхайм в Нью-Йорке есть скульптура, имеющая форму куба. Жук, севший на одну из вершин, хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру, чтобы перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать? Решение Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что DE || AC. Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что DP || EQ. Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что ∠XBY + ∠PBQ = 180°. РешениеНайдите объём правильной треугольной пирамиды, боковые рёбра которой, наклонены к плоскости основания под углом α и удалены от середины противоположной стороны основания на расстояние l . Решение В пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми). Решение Докажите, что число Фибоначчи Fn совпадает с ближайшим целым числом к , то есть
Fn = + .
Решение Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число. Какой остаток даёт x + x³ + x9 + x27 + x81 + x243 при делении на x – 1? Решение |
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]
Определить коэффициенты, которые будут стоять при x17 и x18 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (1 + x5 + x7)20.
Какой остаток даёт x + x³ + x9 + x27 + x81 + x243 при делении на x – 1?
Докажите, что каково бы ни было целое число n, среди чисел n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4 есть хотя бы одно число взаимно простое с остальными четырьмя из этих чисел.
В каком из выражений: (1 – x² + x³)1000, (1 + x² – x³)1000 после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при x20?
Докажите, что каково бы ни было целое число n, среди чисел n, n + 1, n + 2, ..., n + 9 есть хотя бы одно, взаимно простое с остальными девятью.
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|