Версия для печати
Убрать все задачи
В музее Гугенхайм в Нью-Йорке есть скульптура, имеющая форму куба. Жук, севший на одну из вершин, хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру, чтобы перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать?
Решение
Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что DE || AC. Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что DP || EQ. Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что ∠XBY + ∠PBQ = 180°.
Решение
Найдите объём правильной треугольной пирамиды, боковые рёбра
которой, наклонены к плоскости основания под углом
α и
удалены от середины противоположной стороны основания на
расстояние
l .
Решение
В пирамиде
ABCD двугранные углы с рёбрами
AB ,
BC и
CA
равны
α1
,
α2
и
α3
соответственно,
а площади треугольников
ABD ,
BCD и
CAD равны соответственно
S1
,
S2
и
S3
. Площадь треугольника
ABC равна
S .
Докажите, что
S = S1
cos α1
+ S2
cos α2
+
S3
cos α3
(некоторые из углов
α1
,
α2
и
α3
могут быть тупыми).
Решение
Докажите, что число Фибоначчи
Fn совпадает
с ближайшим целым числом к
, то есть
Решение
Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?
Решение
Какой остаток даёт x + x³ + x9 + x27 + x81 + x243 при делении на x – 1?
Решение
Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.
Решение
Фильтр
