ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98619
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Трапеция с основаниями AD и BC описана вокруг окружности, E – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол AED не может быть острым.


Решение

  В описанной трапеции сумма боковых сторон равна сумме оснований, поэтому полусумма боковых сторон равна средней линии. Построим окружности на боковых сторонах трапеции как на диаметрах. Расстояние между их центрами (длина средней линии трапеции) равно сумме радиусов, поэтому окружности касаются внешним образом.
  Из точки внутри любой из этих окружностей одна из боковых сторон видна под тупым углом, а другая – под острым. Однако из точки E обе боковые стороны видны под равными углами. Поэтому E не лежит внутри ни одной из этих окружностей. Отсюда угол AEB не тупой и смежный угол AED не острый.

Замечания

1. Построенные окружности касаются в центре вписанной в трапецию окружности, но для наших рассуждений это неважно.

2. На Московской регате требовалось доказать, что угол AED тупой. Действительно, из тех же соображений нетрудно видеть, что прямым этот угол может быть только для ромба (а ромб – не трапеция).

3. Турнир городов – 7 баллов, Регата – 9 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 6
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 10
задача
Номер 10.4.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .