ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98548
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что число 2333 имеет 101 цифру и начинается с цифры 1. Сколько чисел в ряду 2, 4, 8, 16, ..., 2333 начинается с цифры 4?


Решение 1

  Рассмотрим все n-значные степени двойки. Подчеркнём три из них: наименьшую – она начинается с цифры 1, следующую – начинается с цифры 2 или 3; и наибольшую – она начинается с цифры не менее 5. Неподчёркнутой могла остаться лишь степень, начинающаяся с цифры 4.
  Из этого следует, что ровно 100 выписанных в условии чисел начинаются с единицы (по одному для каждого количества разрядов от 2 до 101), ровно 100 – с цифры 2 или 3, ровно 100 – с цифр больших 4 (по одному для каждого количества разрядов от 1 до 100). Значит, остаются 33 числа, начинающихся с четвёрки.


Решение 2

  Как сказано в условии,  10100 ≤ 2333 < 2·10100.  Разделив на 2300, получим  (5/4)100 ≤ 233 < 2·(5/4)100 , или  232 < (5/4)100 ≤ 233.
  То, что число 2m  (0 < m < 333)  начинается с 4, равносильно неравенству  4·10n ≤ 2m < 5·10n,  где n может принимать значения от 0 до 99. Разделив на 23n+2, получим еще одно равносильное неравенство  (5/4)n ≤ 2k < (5/4)n+1,  где  k = m – 3n – 2.  Каждая степень двойки от 20 до 232 попадёт в один из таких промежутков (а 233, как показано выше, находится правее последнего промежутка). Итак, подобное неравенство выполняется ровно 33 раза.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .