|
|
 |
Условие
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что наименьшее общее кратное этих
чисел равно a + b + c + d.
Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).
Решение
Пусть M = НОК(a, b, c, d) = a + b + c + d. Достаточно доказать, что M делится на 3 или на 5. Можно считать, что a ≥ b ≥ c ≥ d. Если все четыре числа равны, то M = a, что противоречит условию. Следовательно, число b + c + d меньше 3a и делится на a.
Если b + c + d = 2a, то M = 3a кратно 3.
Пусть b + c + d = a, M = 2a = 2(b + c + d). Тогда 2(c + d) делится на b. Если b = c = d, то a = 3b кратно 3. Если c + d < 2b, то 2(c + d) равно 3b, 2b или b, при этом M = 5b, 4b или 3b. В первом и последнем случаях M кратно 3 или 5.
Остался случай a = 2b, c + d = b. При этом M = 4(c + d) делится на c, следовательно, 4d равно 4c, 3c, 2c или c. Во втором случае d кратно 3, в остальных c = d, 2d или 4d. Соответственно, b = 2d, 3d или 5d. В последних двух случаях b кратно 3 или 5.
Случай же a = 2b = 4c = 4d невозможен: снова НОК(a, b, c, d) = a.
Замечания
8-9 кл. – 4 балла, 10-11 кл. – 3 балла.
