ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98463
Темы:    [ Вневписанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вневписанные окружности касаются сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и L. Докажите, что прямая, соединяющая середины KL и AB,
  а) делит периметр треугольника ABC пополам;
  б) параллельна биссектрисе угла ACB.


Решение

  Достроим чертеж до симметричного (см. рис.).

  Равнобочные трапеции AA1B1B и KK1L1L обладают тем свойством, что основание AA1 параллельно основанию KK1 и отстоит от него на то же расстояние, что и BB1 от LL1. Это следует из равенства отрезков касательных AK и BL (см. задачу 55404) и углов CAA1 и CBB1. Следовательно, средняя линия MM1 трапеции AA1B1B является также средней линией трапеции KK1L1L.
  а) MM1 делит диагональ AB1 трапеции AA1B1B пополам, а половина этой диагонали равна полусумме сторон AC и BC треугольника ABC.
  б) MM1 параллельна биссектрисе угла ACB.

Замечания

баллы: 3 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1999/2000
Номер 21
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4
журнал
Название "Квант"
год
Год 2000
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М1728

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .